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      II.2. Matemáticas II: Cálculo de varias variables reales y variable compleja (60 horas; 10 créditos)

 

Programa

1.Análisis real. Cálculo en Rn (14 horas).
1.1 Topología de Rn.
1.2 Conjuntos compactos y conexos.
1.3 Funciones de Rná a Rm. Funciones continuas. Continuidad y convergencia uniforme.
1.4 Funciones diferenciables. Derivadas parciales.
1.5 Teoremas de la función inversa y de la función implícita (sin demostración).

2.Integración en Rn (16 horas).
2.1 Funciones integrables. Volumen, contenido y medida 0.
2.2 Integral de Riemann.
2.3 Integrales impropias.
2.4 Teorema de Fubini.
2.5 Teorema del cambio de variable.

3.Funciones de variable compleja (6 horas).
3.1 Diferenciabilidad compleja. Condiciones de Cauchy-Riemann.
3.2 Diferenciabilidad compleja versus diferenciabilidad real.
3.3 Holomorfía y analiticidad. Series de potencias. Radio de convergencia.


4.Integración compleja (12 horas).

4.1 Integral de línea e integral tipo Cauchy. Teoremas y fórmulas integrales de Cauchy.
4.2 Teoremas de unicidad (opcional), Liouville, fundamental del álgebra, del mapeo abierto
y del módulo máximo.

5.Singularidades y residuos (12 horas).
5.1 Singularidades aisladas. Singularidades removibles, polos y singularidades esenciales.
Ceros de funciones holomorfas. Teorema de Casorati-Weierstrass.
5.2 Desarrollo en series de Laurent. Residuos.
5.3 Teorema de los residuos. Principio del argumento. Teorema de Rouché.
Aplicaciones a integrales de variable real (opcional).

Referencias


1. Ahlfors, Lars V., Complex Analysis, Second Edition, McGraww-Hill, 1966.
2. Apostol, Tom M.,á Análisis Matemático, Reverté, 1960.
3. Bartle, Robert G., The Elements of Real Analysis, John Wiles & Sons, 1964.
4. Conway, John B., Functions of One Complex Variable, Springer-Verlag, GTM 11, 1973.
5. Marsden, Jerrold E., Elementary Classical Analysis, W. H. Freeman and Company, 1974.
6. Markushevich, A.,á Teoría de las Funciones Analíticas, Tomo I, Mir, 1970.
7. Rudin, Walter, Principios de Análisis Matemático, Segunda edición, McGraw-Hill, 1966.
8. Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, Second Edition, McGraw-Hill, 1974.
9. Stromberg, Karl R., An Introduction to Classical Real Analysis, Wadsworth International Group, 1981.

 

 

 

    

 

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